函数方程是含有未知函数的方程。函数方程可以有一个解,可以无解,也可以有多个解,甚至可以有无穷多个解。
![{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c0dcb4535d0e42b3e09cff1736643170ad9e71)
- 的解是黎曼ζ函數。
![{\displaystyle \Gamma (x)={\Gamma (x+1) \over x}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f403760d22ac48fcd14985bfd8af6f76c0f1a27)
- 的解是伽玛函数。
![{\displaystyle \Gamma (z)\Gamma (1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b9d2dc7314f25332bc30ded90452ef1c4cc887c)
的解是伽玛函数。
的解是所有指数函数。
的解是所有对数函数。
(柯西函数方程)
(庞加莱方程)
(琴生)
(达朗贝尔)
(阿贝尔方程)。
解函数方程[编辑]
函数方程与代数方程、微分方程不同,并没有普遍的解法。所以这个分支也没能发展起来。如上述的解为Gamma函数和初等函数的方程的解法完全不同。
对于二元函数方程,对其变量赋予特殊值的做法较多。
例子:解函数方程
。
设
:
。所以
,
。
现在,设
:
![{\displaystyle f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30e01687031ee7721fdc5abdd7916f6422ce301b)
![{\displaystyle f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a9c13312f8023ea21ad4a8f86e886b1f78acebc)
![{\displaystyle 0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54c2a8df1753502fcdaafc94c07a2ba4e49e9c82)
由于实数的平方非负,以及两个非负数的和为零当且仅当两个数都为零,因此对于所有x,
,所以
是唯一的解。
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