切薩羅求和(英語:Cesàro summation)是由義大利的數學家恩納斯托·切薩羅(Ernesto Cesàro)發明,是計算無窮級數和的方式。若一級數收斂至α,則其切薩羅和存在,其值為 α,而發散級數也可以用切薩羅求和的方式,計算出切薩羅和。
令{an}為一數列,且令
![{\displaystyle s_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bac8e8e33ee36c4bdbdb645db35091d4880885b)
為數列前k項的部份和:
.
若以下的條件成立,則此數列{an}的切薩羅和存在,且其值為α。
.
格蘭迪級數的例子[编辑]
令 an = (-1)n+1, n ≥ 1。因此{an} 為以下的數列:
。
其部份和組成的數列 {sn} 為
;
此數列為格蘭迪級數,不會收斂。
而數列 {(s1 + ... + sn)/n} 的各項分別為
;
當n趨近於無限大,切薩羅和為如下極限:
。
因此,數列 {an} 的切薩羅和為 1/2。
切薩羅在1890年發展了更廣泛的切薩羅和,表示為(C, n),其中n為非負整數。
(C, 0) 是一般定義下的和,而(C, 1)就是上述的切薩羅和。
n>1時的(C, n) 如下所述:
對於級數Σan, 定義
![{\displaystyle A_{n}^{-1}=a_{n};A_{n}^{\alpha }=\sum _{k=0}^{n}A_{k}^{\alpha -1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/30845c4ebf8716a5292893e1faf6886e4e99616d)
(上面的指数不表示指数)且定義 Enα 為數列 1 , 0 , 0 , 0 , 0· · · 的 Anα。
則 Σan 的 (C, α) 和則為
![{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {A_{n}^{\alpha }}{E_{n}^{\alpha }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5122b293b32433942a7421323af58e4d2f42a8d)
若以上數值存在。[1]
这种描述代表初始求和方法的 α 次迭代应用。
相關條目[编辑]
- ^ Shawyer and Watson pp.16-17
參考文獻[编辑]
- Shawyer, Bruce and Bruce Watson. Borel's Methods of Summability: Theory and Applications. Oscford UP. 1994. ISBN 978-0-19-853585-0.