举例来说,上述未归一化和归一化的sinc函数的
都是{0},因为两者都在
时取得全局最大值1.
未归一化sinc函数(红)的arg min 约为{-4.49, 4.49},因为在
处有两个全局最小值,约为-0.217。归一化sinc函数(蓝)的arg min约为{−1.43, 1.43},因为它们的全局最小值在
处,尽管最小值相同。[1]
数学中,极值点(arguments of the maxima/minima,分别缩写为arg max/arg min或argmax/argmin)是使函数输出值取得极值的输入点。[note 1]函数的自变量在定义域上,因变量则在到达域上。
给定任意集合X、全序集Y与函数
,则某子集
上的
定义为
![{\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:={\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\leq f(x),\ \forall s\in S\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e2c93f068ae5ca3d427447bd562381d9db4b139)
若
或S在语境中明确,则通常省略S,如
也就是说,
是点x的集合,使
到达函数最大值(若存在)。
可以是空集、单元集,或包含多个元素。
在凸分析与变分分析中,
(是广义实数)的情形时的定义略有不同。这时,若f等同于S上的
,则
(即
),否则
定义如上,这时
也可以写成
![{\displaystyle \operatorname {argmax} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\sup {}_{S}f\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60032073aace2c49981eb76a47f8abad20fceadd)
这里要强调的是,这个涉及
的等式只有当f在S上不等同于
时才成立。
Arg min[编辑]
(或
)表示极小值点,定义与之类似。例如
![{\displaystyle {\underset {x\in S}{\operatorname {arg\,min} }}\,f(x):=\{x\in S~:~f(s)\geq f(x){\text{ for all }}s\in S\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07d9f98ff5333f1bed05023f09e67eb2c169e43e)
是使函数值
取得极小值的点x。它是
的补算子。
在
(是广义实数)的情形时,若f在S上等同于
,则
(即
),否则
定义如上,这时它也满足
![{\displaystyle \operatorname {argmin} _{S}f:=\left\{x\in S~:~f(x)=\inf {}_{S}f\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/867535362698e0a29786fd84ad788f99b8e6e680)
例子与性质[编辑]
例如,若
,则f只有在
这一点上取最大值1。因此
![{\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,(1-|x|)=\{0\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/99397a494944b20515578803ab0c651b93887bc8)
算子与
不同,给定相同的函数时,后者返回函数极大值,而不是使函数取得极大值的点。也就是说
is the element in ![{\displaystyle \{f(x)~:~f(s)\leq f(x){\text{ for all }}s\in S\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba2c32bc9f59a6502e64d6dceb1959ba090e3bd)
max可以是空集(这时极大值未定义),这与
相同;不同的是
可能不含多个元素。[note 2]例如,取
则
但
因为函数在
的每个元素上都取相同的值。
等价地,若M是f的极大值,则
是极大值的水平集:
![{\displaystyle {\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)=\{x~:~f(x)=M\}=:f^{-1}(M).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3148ee41a562696001d2c4df9584ebe7e11d00ca)
可以将其重排,得到简单的等式[note 3]
![{\displaystyle f\left({\underset {x}{\operatorname {arg\,max} }}\,f(x)\right)=\max _{x}f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8393f53ec6164b2b9fbc84d955699733b604b79c)
若极大值点只有一个,那么
应被视为一个点,而非点集。例如
![{\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {arg\,max} }}\,(x(10-x))=5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed4daf196a83a2b966a8f4c77a4f0c4dbbbc1201)
(而非单元集
),因为
的极大值25仅在
时取到。[note 4]而若在多个点上都取得极大值,
就应被视为点集。例如
![{\displaystyle {\underset {x\in [0,4\pi ]}{\operatorname {arg\,max} }}\,\cos(x)=\{0,2\pi ,4\pi \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8cc9d87b3c9d58f0f7223a632e5521facff5b34)
因为maximum value of
的极大值1在
时取到。在整条实数线上
因此是无限集。
函数不必达到极大值,因此
有时是空集。例如
,因为
在实数线上无界。再举个例子,
,虽然
有界(
),但由极值定理,闭区间上的连续实值函数必有极大值,因此有非空的
。
- ^ 我们将输入(x)称作点(point),将输出(y)称作值(value),如临界点与临界值。
- ^ 由于
的反对称性,函数至多有一个极大值。
- ^ 这是集合间的等式,更确切地说是Y的子集间的等式。
- ^ 注意
,当且仅当
时取等。
参考文献[编辑]
外部链接[编辑]