有理曲面

在代数几何里，有理曲面（rational surface）是指一个双有理等价于投影平面的曲面；换句话说，即为一个二维有理簇。有理曲面是复曲面的十余种恩里克斯-小平分类中最简单的一类，且是第一个被研究的曲面。

结构

每个非奇异曲面均可透过重复拉开最小有理曲面而取得。最小有理曲面可为投影平面，或希策布鲁赫平面 Σ_r，其中 r = 0 或 r ≥ 2。

不变量：有理曲面的正则亏格均为0，其基本群均是平凡的。

霍奇钻石：

		1
	0		0
0		1+n		0
	0		0
		1

其中，n 等于 0 时为投影平面，等于 1 时为希策布鲁赫曲面，大于 1 时则为其他有理曲面。

除了希策布鲁赫曲面 Σ_2m 为偶么模格 II_1,1 之外，皮卡群均为奇么模格 I_1,n。

卡斯特尔诺沃定理

吉多·卡斯特尔诺沃证明，任一复曲面，若使得 q 及 P₂（不规则点及第二正则亏格）均消失，则该曲面为有理曲面。该定理被用于恩里克斯-小平分类中，以识别有理曲面。扎里斯基于1958年证明，卡斯特尔诺沃定理在特征为正的体上亦成立。

卡斯特尔诺沃定理也意指任一单有理复曲面都是有理曲面，因为若一复曲面为单有理曲面，则其不规则点与正则亏格会小于有理曲面的不规则点与正则亏格，因此均为 0，所以该曲面为有理曲面。大多数三维以上的单有理复簇都不是有理曲面。在特征 p > 0 时，扎里斯基于1958年发现，不是有理曲面，但为单有理曲面（扎里斯基曲面）之例子。

曾有一段时间不知道 q 及 P₁ 均消失的复曲面是否均为有理曲面，直到费德瑞格·恩里克斯找到一个反例（称为恩里克斯曲面）为止。

有理曲面的例子

• 博尔迪加曲面：投影平面于 P⁴ 之6次嵌入。
• 沙德烈曲面
• 科布尔曲面
• 立方曲面：非奇异立方曲面同构于6个点拉开的投影平面，且为法诺曲面。有名的例子包括费马立方、凯莱立方曲面及克莱布希对角曲面。
• 法诺曲面
• Enneper曲面
• 希策布鲁赫曲面 Σ_n
• 两个投影线的积 P¹×P¹ 为希策布鲁赫曲面 Σ₀。该曲面是唯一具有两种不同直纹之曲面。
• 投影平面
• 塞格雷曲面：两个二次曲面的相交，同构于5个点拉开的投影平面。
• 罗马曲面：在 P⁴ 内，具奇异点，且双有理等价于投影平面之曲面。
• White surfaces, a generalization of Bordiga surfaces.
• 白曲面，博尔迪加曲面的广义化。
• 维罗纳曲面：投影平面于 P⁵ 之嵌入。

另见

• 代数曲面列表

参考资料

• Barth, Wolf P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris A.M.; Van de Ven, Antonius, Compact Complex Surfaces, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 4, Springer-Verlag, Berlin, 2004, ISBN 978-3-540-00832-3, MR 2030225 
• Beauville, Arnaud, Complex algebraic surfaces, London Mathematical Society Student Texts 34 2nd, Cambridge University Press, 1996, ISBN 978-0-521-49510-3, MR 1406314