在数学中,非对称关系(英语:Asymmetric relation)是二元关系的一种。若集合
上的二元关系
为非对称关系,则对于所有
,
。换句话说,如果
至
存在关系,则
至
不存在关系[1]。
正式定义[编辑]
一个定义于
上的二元关系
是
的任何子集。给定
,我们将
简写为
,读作“
至
存在关系
(
is related to
by
)”。
如果对于所有
,若
,则
(也就是
),则我们称
是非对称的。以一阶逻辑的形式可以写成:
一个逻辑等价的定义如下:对于所有
,
与
中至少有一为假。以一阶逻辑的形式可以写成:
非对称关系的一个例子是定义于实数上的“小于关系”,亦即
。由于当
小于
时,
一定不小于
,因此
是非对称的。另一方面,“小于等于关系”则不是非对称的,因为当
时,
和
会同时成立,不符合非对称关系的定义。
非对称关系不代表对称关系的相反,上述的“小于等于关系”既不是非对称关系,也不是对称关系;而“空关系(
)”是唯一同时是非对称关系,也是对称关系的关系。
非对称关系(Asymmetric)与反对称关系(Antisymmetric)的差异在于:反对称关系容许自反性,
可以属于
,而非对称关系不允许。如上述的“小于等于关系”即是反对称关系的一例。
- 一个关系为非对称的,若且唯若该关系为反对称且非自反的[2]。
- 对于一个非对称关系
,对其施加限制或求其逆关系后,该关系同样是非对称的。例如,由“
”定义的关系是非对称关系(若
则
),若将集合从实数限缩至整数,该关系同样是非对称的;求该关系的逆关系“
”,该逆关系同样是非对称的。
- 一个递移关系为非对称的,若且唯若该关系为非自反的[3]:若存在
且
使得该关系不是非对称,则由递移性可得到
,使得该关系同样不是非自反关系。
- 一个关系为递移性的且非对称的,若且唯若该关系为严格偏序的。
- 一个非对称关系不一定是全关系。例如,由“严格子集”定义的关系是非对称关系(若
则
),但不是全关系(
又
)。
参考资料[编辑]
- ^ Gries, David; Schneider, Fred B., A Logical Approach to Discrete Math, Springer-Verlag: 273, 1993 .
- ^ Nievergelt, Yves, Foundations of Logic and Mathematics: Applications to Computer Science and Cryptography, Springer-Verlag: 158, 2002 .
- ^ Flaška, V.; Ježek, J.; Kepka, T.; Kortelainen, J. Transitive Closures of Binary Relations I (PDF). Prague: School of Mathematics - Physics Charles University. 2007: 1 [2013-08-20]. (原始内容 (PDF)存档于2013-11-02). Lemma 1.1 (iv). Note that this source refers to asymmetric relations as "strictly antisymmetric".