雷登转换将函数
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f(x,y)}
f
(
α
,
s
)
{\displaystyle f(\alpha ,s)}
本图是将下图做雷登转换后得到的影像，越亮的区域代表值越大，黑色的区域为0。 原始函数是白色区域为1，黑色区域为0。 数学 上，雷登变换是一种积分变换 ，这个转换将函数
f
{\displaystyle f}
R
f
{\displaystyle Rf}
雷登变换是Johann Radon在西元1917年提出[1] X-ray transform )。而在不久之后，更高维度的欧几里得空间 的雷登转换被提出，更详尽的广义雷登转换要查Integral geometry 。
在复数 上有和雷登转换相似的Penrose transform ，雷登转换被广泛的应用在断层扫描 ，从断层扫描的剖面图重建出投影的资料。
若函数
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
f
{\displaystyle f}
三维重建 。
雷登转换后的讯号称作"正弦图"，因为一个偏离中心的点的雷登转换是一个正弦曲线。所以对一些小点的雷登转换，会看起来像很多不同振福、相位的正弦函数 重叠在一起。
雷登转换可以应用在：X射线电脑断层扫描 、条码 扫描器、macromolecular assemblies 的电子显微镜 例如：病毒 、Reflection seismology 、蛋白质复合体 ，而且也是双曲线
偏微分方程 的解。
令密度函数
f
(
x
)
=
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle f({\bf {x}})=f(x,y)}
R
2
{\displaystyle {\bf {R}}^{2}}
R
{\displaystyle R}
R
f
(
x
,
y
)
{\displaystyle Rf(x,y)}
R
2
{\displaystyle {\bf {R}}^{2}}
L ，它的定义如下
R
f
(
L
)
=
∫
L
f
(
x
)
|
d
x
|
{\displaystyle {\cal {R}}f(L)=\int _{L}f({\bf {x}})|d{\bf {x}}|}
对于一个弧长
z
{\displaystyle z}
L
{\displaystyle L}
(
x
(
z
)
,
y
(
z
)
)
=
(
(
z
sin
α
+
s
cos
α
)
,
(
−
z
cos
α
+
s
sin
α
)
)
{\displaystyle (x(z),y(z))={\Big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\Big )}\,}
s
{\displaystyle s}
L
{\displaystyle L}
α
{\displaystyle \alpha }
L
{\displaystyle L}
x
{\displaystyle x}
(
α
,
s
)
{\displaystyle (\alpha ,s)}
R
2
{\displaystyle {\bf {R}}^{2}}
R
f
(
α
,
s
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
(
z
)
,
y
(
z
)
)
d
z
=
∫
−
∞
∞
f
(
(
z
sin
α
+
s
cos
α
)
,
(
−
z
cos
α
+
s
sin
α
)
)
d
z
{\displaystyle {\begin{aligned}{\cal {R}}f(\alpha ,s)&=\int _{-\infty }^{\infty }f(x(z),y(z))\,dz\\&=\int _{-\infty }^{\infty }f{\big (}(z\sin \alpha +s\cos \alpha ),(-z\cos \alpha +s\sin \alpha ){\big )}\,dz\end{aligned}}}
更进一步，我们可以把
R
2
{\displaystyle {\bf {R}}^{2}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
f
{\displaystyle f}
R
f
{\displaystyle Rf}
∑
n
{\displaystyle \sum _{n}}
超平面 上，
R
f
(
ξ
)
=
∫
ξ
f
(
x
)
d
σ
(
x
)
,
f
o
r
ξ
∈
∑
n
{\displaystyle {\cal {R}}f(\xi )=\int _{\xi }f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} ),\quad {\rm {for}}\quad \xi \in \sum _{n}}
对所有
x
⋅
α
=
s
.
{\displaystyle {\bf {x}}\cdot \alpha =s.}
而
α
{\displaystyle \alpha }
单位向量 且属于
S
n
−
1
{\displaystyle {\rm {S}}^{n-1}}
s
∈
R
{\displaystyle s\in \mathbb {R} }
S
n
−
1
×
R
{\displaystyle {\rm {S}}^{n-1}\times {\bf {R}}}
R
f
(
α
,
s
)
=
∫
x
⋅
α
=
s
f
(
x
)
d
σ
(
x
)
{\displaystyle {\cal {R}}f(\alpha ,s)=\int _{\mathbf {x} \cdot \alpha =s}f(\mathbf {x} )\,d\sigma (\mathbf {x} )}
也能把仿射子空间，而这种推广雷登变换的特殊情况被广泛应用在X射线电脑断层扫描 ，他的做法是对一条直线积分。
与傅立叶变换的关系 [ 编辑 ] 主条目：Projection-slice theorem
雷登变换和傅立叶变换之间有很强的关联性。单变数的傅立叶变换的定义是
f
^
(
ω
)
=
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
2
π
i
x
ω
d
x
{\displaystyle {\hat {f}}(\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\omega }\,dx}
而双变数
(
x
)
=
(
x
,
y
)
{\displaystyle ({\bf {x}})=(x,y)}
f
^
(
w
)
=
∫
−
∞
∞
∫
−
∞
∞
f
(
x
)
e
−
2
π
i
x
⋅
w
d
x
d
y
{\displaystyle {\hat {f}}(\mathbf {w} )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(\mathbf {x} )e^{-2\pi i\mathbf {x} \cdot \mathbf {w} }\,dx\,dy}
把雷登转换的运算子的表记从
R
[
f
]
(
s
)
{\displaystyle {\cal {R}}[f](s)}
R
[
f
]
(
α
,
s
)
{\displaystyle {\cal {R}}[f](\alpha ,s)}
Projection-slice theorem 学说，
R
α
[
f
]
^
(
σ
)
=
f
^
(
σ
n
(
α
)
)
{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))}
n
(
α
)
=
(
cos
α
,
sin
α
)
{\displaystyle \mathbf {n} (\alpha )=(\cos \alpha ,\sin \alpha )}
因此一个初始函数沿著一条线倾角
α
{\displaystyle \alpha }
f
^
(
r
α
)
=
∫
−
∞
∞
R
f
(
α
,
s
)
e
−
2
π
i
s
r
d
s
{\displaystyle {\hat {f}}(r\alpha )=\int _{-\infty }^{\infty }{\mathcal {R}}f(\alpha ,s)e^{-2\pi isr}\,ds}
对偶转换 [ 编辑 ] 对偶雷登转换是雷登转换的埃尔米特伴随 。令在空间
∑
n
{\displaystyle \sum _{n}}
g
{\displaystyle g}
R
∗
{\displaystyle {\cal {R}}^{*}}
g
{\displaystyle g}
R
∗
g
(
x
)
=
∫
x
∈
ξ
g
(
ξ
)
d
μ
(
ξ
)
{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(x)=\int _{x\in \xi }g(\xi )\,d\mu (\xi )}
积分的范围是所有和
x
∈
R
2
{\displaystyle x\in {\bf {R}}^{2}}
d
μ
{\displaystyle d\mu }
ξ
|
x
∈
ξ
{\displaystyle \xi |x\in \xi }
x
{\displaystyle x}
d
μ
{\displaystyle d\mu }
对于一个二维的雷登转换，其对偶转换是
R
∗
g
(
x
)
=
1
2
π
∫
α
=
0
2
π
g
(
α
,
n
(
α
)
⋅
x
)
d
α
{\displaystyle {\mathcal {R}}^{*}g(x)={\frac {1}{2\pi }}\int _{\alpha =0}^{2\pi }g(\alpha ,\mathbf {n} (\alpha )\cdot \mathbf {x} )\,d\alpha }
在影像处理的文章中，对偶转换经常被称作反向传播算法 (back propagation) [2]
交结性质
拉普拉斯算子
Δ
{\displaystyle \Delta }
R
n
{\displaystyle {\bf {R}}^{n}}
Δ
=
∂
2
∂
x
1
2
+
⋯
+
∂
2
∂
x
n
2
{\displaystyle \Delta ={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}}
这是一个旋转不变性 的二阶微分算子 ，在空间
∑
n
{\displaystyle \sum _{n}}
L
f
(
α
,
s
)
≡
∂
2
∂
s
2
f
(
α
,
s
)
{\displaystyle Lf(\alpha ,s)\equiv {\frac {\partial ^{2}}{\partial s^{2}}}f(\alpha ,s)}
也是旋转不变性 。
而雷登转换与其对偶转换属于交结运算子(intertwining operator)，是因为
R
(
Δ
f
)
=
L
(
R
f
)
,
R
∗
(
L
g
)
=
Δ
(
R
∗
g
)
{\displaystyle {\mathcal {R}}(\Delta f)=L({\mathcal {R}}f),\quad {\mathcal {R}}^{*}(Lg)=\Delta ({\mathcal {R}}^{*}g)}
重建方法 [ 编辑 ] 重建处理 是指从投影影像重建一个影像，或是一个函数
f
{\displaystyle f}
逆问题 (inverse problem)。
雷登反转换公式
对于二维雷登转换，最常被使用的解析公式(analytical formula)
f
{\displaystyle f}
f
(
x
)
=
∫
0
π
(
R
f
(
⋅
,
θ
)
∗
h
)
(
⟨
x
,
n
θ
⟩
)
d
θ
{\displaystyle f(\mathbf {x} )=\int _{0}^{\pi }({\mathcal {R}}f(\cdot ,\theta )*h)(\left\langle \mathbf {x} ,\mathbf {n} _{\theta }\right\rangle )d\theta }
[3] 函数
h
{\displaystyle h}
h
^
(
k
)
=
|
k
|
{\displaystyle {\hat {h}}(k)=|k|}
[4]
h
{\displaystyle h}
不适定问题 (ill-posedness)
直觉上，反转换公式应该和微分类似，
d
d
x
^
f
(
x
)
=
i
k
f
^
(
k
)
{\displaystyle {\widehat {\frac {d}{dx}}}f(x)=ik{\hat {f}}(k)}
R
∗
R
g
^
(
k
)
=
1
|
|
k
|
|
g
^
(
k
)
{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}^{*}{\mathcal {R}}g}}(k)={\frac {1}{||\mathbf {k} ||}}{\hat {g}}(\mathbf {k} )}
R
∗
{\displaystyle {\cal {R}}^{*}}
g
(
x
)
=
e
i
⟨
k
0
,
x
⟩
{\displaystyle g({\bf {x}})=e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }}
R
∗
R
g
=
1
|
|
k
|
|
e
i
⟨
k
0
,
x
⟩
{\displaystyle {\cal {R}}^{*}{\cal {R}}g={\frac {1}{||{\bf {k}}||}}e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }}
复数指数函数
e
i
⟨
k
0
,
x
⟩
{\displaystyle e^{i\langle {\bf {k}}_{0},{\bf {x}}\rangle }}
R
∗
R
{\displaystyle {\cal {R}}^{*}{\cal {R}}}
固有函数 (eigenfunction) ，
而特征值 (eigenvalue)为
1
|
|
k
|
|
{\displaystyle {\frac {1}{||{\bf {k}}||}}}
R
{\displaystyle {\cal {R}}}
1
|
|
k
|
|
{\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{||{\bf {k}}||}}}}
R
−
1
{\displaystyle {\cal {R}}^{-1}}
[5]
^ https://en.wikipedia.org/wiki/Radon_transform#CITEREFRadon1917 ^ https://en.wikipedia.org/wiki/Radon_transform#CITEREFRoerdink2001 ^ http://statweb.stanford.edu/~candes/math262/Lectures/Lecture09.pdf ^ http://statweb.stanford.edu/~candes/math262/Lectures/Lecture10.pdf ^ http://statweb.stanford.edu/~candes/math262/Lectures/Lecture10.pdf
Deans, Stanley R., The Radon Transform and Some of Its Applications, New York: John Wiley & Sons, 1983 Helgason, Sigurdur, Geometric analysis on symmetric spaces, Mathematical Surveys and Monographs 39 2nd, Providence, R.I.: American Mathematical Society , 2008, ISBN 978-0-8218-4530-1MR 2463854 Helgason, Sigurdur , Groups and Geometric Analysis: Integral Geometry, Invariant Differential Operators, and Spherical Functions, Academic Press, 1984, ISBN 0-12-338301-3 Herman, Gabor T. , Fundamentals of Computerized Tomography: Image Reconstruction from Projections 2nd, Springer, 2009, ISBN 978-1-85233-617-2 Minlos, R.A., Radon transform , Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 Natterer, Frank, The Mathematics of Computerized Tomography, Classics in Applied Mathematics 32 , Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-493-1 Natterer, Frank; Wübbeling, Frank, Mathematical Methods in Image Reconstruction, Society for Industrial and Applied Mathematics, ISBN 0-89871-472-9 Radon, Johann , Über die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte längs gewisser Mannigfaltigkeiten, Berichte über die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig, Mathematisch-Physische Klasse [Reports on the proceedings of the Royal Saxonian Academy of Sciences at Leipzig, mathematical and physical section] (Leipzig: Teubner), 1917, (69): 262–277 Translation: Radon, J.; Parks, P.C. (translator), On the determination of functions from their integral values along certain manifolds, IEEE Transactions on Medical Imaging, 1986, 5 (4): 170–176, PMID 18244009 doi:10.1109/TMI.1986.4307775 Roerdink, J.B.T.M., Tomography , Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书 , Springer , 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 埃里克·韦斯坦因 . NtuEEsaber/沙盒 . MathWorld . 
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15f797153d26de6695006b53c3d5b374b62fe439)
}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca05f39a823774598e430ff88eecc89ddd009da8)
![{\displaystyle {\widehat {{\mathcal {R}}_{\alpha }[f]}}(\sigma )={\hat {f}}(\sigma \mathbf {n} (\alpha ))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edfc2efb58787175cd3494b406d8aa539f4d7d4f)
