在數學中,瑞利商(英語:Rayleigh quotient)定義為:[1][2]
式中,
為復埃爾米特矩陣,
為非零向量。對實矩陣和向量,對矩陣的埃爾米特矩陣要求退化為對稱矩陣,對向量的共軛轉置退化為轉置。
對所有非零標量
成立。
埃爾米特矩陣(或實對稱矩陣)只具有實特徵值且可對角化,由此,對於給定矩陣,其瑞利商達到最小值λ(
的最小特徵值)當
為
(最小特徵值對應的特徵向量);類似的:
,
。[2]
瑞利商使用最小最大定理(min-max theorem)獲得所有特徵值的精確值。它還用於特徵值算法(如瑞利商迭代),從特徵向量近似值中獲得特徵值近似值。
在量子力學中,瑞利商給出了狀態為
的系統中算子
觀測值的期望值。
埃爾米特矩陣M的界[編輯]
對於任意向量
,其瑞利商滿足
,其中
分別代表矩陣
的最小特徵值和最大特徵值。觀察定義可知,矩陣
的瑞利商等價於其特徵值的加權和:
其中
是第
個歸一化後的特徵值-特徵向量對,
是
在特徵基中的第
個坐標。可以驗證,當
為矩陣
最小(最大)特徵值對應的特徵向量
(
)時,
取值達到其下(上)界。
參考文獻[編輯]