MathieuCE 3D
MathieuSE 3D
馬丟函數(法語:Équation de Mathieu)是1868年法國數學家以米里迂·拉·馬丟因研究數學物理所推得的特殊函數,下列馬丟方程的解析解:
![{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+[a-2q\cos(2x)]y=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04350d53213611e9b1c2cd83f8541ee52b225496)
馬丟方程有兩個線性無關的解:
- 奇數解
MathieuCE(n, q, x),或記為
,
- 偶數解
MathieuSE(n, q, x).或記為
稱為基本解[1]
周期性[編輯]
馬丟函數 MathieuC(a,q,z) 或 MathieuS(a,q,z) 只有一個是周期為
或
的周期解,另一個不是。
馬丟函數 MathieuC(a,q,z) 和 MathieuS(a,q,z) 兩者都有是周期為
(n≥2)的周期函數。
[1]
正交性[編輯]
![{\displaystyle \int _{0}^{2*\pi }\!ce_{m}(x,q)*ce_{n}(x,q)\,dx=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/299ebaa65f01e5093fb151c0a47e4287cf86ff63)
![{\displaystyle \int _{0}^{2*\pi }\!ce_{m}(x,q)*se_{n}(x,q)\,dx=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/296c18488a62716e58b09e6600aa2f6aadee90d6)
![{\displaystyle \int _{0}^{2*\pi }\!se_{m}(x,q)*se_{n}(x,q)\,dx=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d21ae64bc7ec6f4423753ae1ddba1e43755573)
特徵方程[編輯]
Mathieu Eigen value a(n,q)
Mathieu eigenvalue b(n,q)
馬丟方程的特徵方程是[1]
對於給定的v,q, 上列特徵方程給出無窮多個a、b解稱為特徵值。
特徵值的展開[編輯]
馬丟函數體特徵值可展開成級數:[2]
級數展開[編輯]
馬丟函數ce,se的級數展開[3]
傅立葉展開式[編輯]
馬丟函數的傅立葉展開:[3]
![{\displaystyle MathieuCE(2n,q,x)=\sum _{m=0}^{\infty }A_{2m}^{2n}(q)cos(2mx)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7768833d8e3dcb75ed9c08b337e31ee36d449bbe)
![{\displaystyle MathieuCE(2n+1,q,x)=\sum _{m=0}^{\infty }A_{2m+1}^{2n+1}(q)cos[(2m+1)x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fceaa258b0779c9ebd459abf3458f2e9a5133ca)
![{\displaystyle MathieuSE(2n+1,q,x)=\sum _{m=0}^{\infty }B_{2m+1}^{2n+1}(q)sin[(2m+1)x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffbdf6f2ba08cff1c58400be9cb8dc9e8f996fdb)
![{\displaystyle MathieuSE(2n+2,q,x)=\sum _{m=0}^{\infty }B_{2m+2}^{2n+2}(q)sin[(2m+2)x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1abed503d176ed1629aa9e4f8c2922bebebf42ba)
其中係數A,B滿足下列遞歸關係:[3]
關係式[編輯]
馬丟方程的基本解
滿足下列關係:[3]:
= ![{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0dc9410daa2f0a990379e08fec9a29c13798e750)
郎斯基行列式:
![{\displaystyle CE(a,0,z)=cos(az)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c18ff0d195fdc3a046cedd4520b82e839834ffae)
![{\displaystyle SE(a,0,z)=sin(az)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/705bc4c9df96e1e77bf1bc76cba02fe301e6696f)
![{\displaystyle MathieuA(1,0)=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f8dd674bd016d352dbfd61e3b1a4fcf61928b69)
![{\displaystyle MathieuA(a,0)=a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d14bd147d6998ed3ed538ffc504cc5b50ceb113a)
![{\displaystyle MathieuB(a,0)=a^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac1b6ba7ff54bb35d41f5cf8854b45fbff64c5da)
![{\displaystyle MathieuFloquet(a,0,z)=exp(I*sqrt(a)*z)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/366985f338a8fdb2a1a9a2be7acb353167420d5e)
![{\displaystyle }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df4dcd61276328f7c7ec5bdc399b6e11114a2c68)
夫洛開解[編輯]
Mathieu Floquet
馬丟函數中,如果
是一個周期為
的解,並滿足下列條件
,其中
與x 無關,則此解稱為夫洛開解。
- 級數展開
參考文獻[編輯]
- ^ 1.0 1.1 1.2 王竹溪 郭敦仁 603 引用錯誤:帶有name屬性「W」的
<ref>
標籤用不同內容定義了多次
- ^ Frank p659
- ^ 3.0 3.1 3.2 3.3 Frank p660 引用錯誤:帶有name屬性「F」的
<ref>
標籤用不同內容定義了多次
- 王竹溪 郭敦仁 《特殊函數概論》 第十二章 馬丟函數 北京大學出版社 2000
- Frank J Oliver NIST Handbook of Mathematical Functions,Cambridge University PRESS, 2010