香港高级程度会考纯粹数学科

香港高级程度会考纯粹数学科(英语：HKALE Pure Mathematics)是昔日一个在香港教育制度内的大学预科高等数学课程，公开考试在1980年至2013年间由香港考试及评核局(HKEAA)举办。

历史及概述

课程前身为香港大学入学资格考试纯粹数学(University of Hong Kong Matriculation Examination Pure Mathematics)课程。

1980年，第一届由香港考试局（今香港考试及评核局）举办的香港高级程度会考纯粹数学科考试举行。

1992年本科首次有教学用的课程纲要，香港课程发展议会编制及发布纯粹数学科学习领域指引《中学课程纲要－纯粹数学科 (高级程度) (1992)》 （页面存档备份，存于互联网档案馆），此前只有考试纲要。

2001年4月，发生试题印错事件，卷二第8题所提供的函数，把“$6-x$”误印成“$x-6$”，令题目无法算出。考试局在同月27日检讨补救方法后，决定以不重考但调整考生分数的方式处理。

2004年，香港课程发展议会编制及发布《数学教育学习领域－纯粹数学科课程及评估指引 (高级程度) (2004)》（页面存档备份，存于互联网档案馆）。

2009年9月，香港教育界实施三三四高中教育改革新学制课程，当中并没有纯粹数学科，不过教育局总课程发展主任李柏良在新闻报导上指出，纯粹数学科及香港高级补充程度会考数学与统计学的内容跟新学制的香港中学文凭考试数学科延伸部分接近。

2012年，最后一届开放予应届学校考生参加。

2013年，为自修生举行的最后一届香港高级程度会考举行 。

课程设计及内容

1992年前

考试纲要

根据香港数学教育学会(Hong Kong Association for Mathematics Education)的网志，由于不成文规定，香港大学入学资格考试的纯粹数学科预科课程归香港大学管理，只有考试纲要并未有教学课程及评估指引纲要发布，任教老师只能参考历届试题来自制教材，部分学校出现教学课程内容过多过深的“超教”情况。

考试纲要/数学领域	早期纯粹数学科试题内容
数理逻辑	命题、逆命题及逆否命题、充分必要条件 或（$\lor$）、非（$\neg$）、与（$\land$）、真值表 蕴涵（$\rightarrow$）、反蕴涵（$\leftarrow$）、当且仅当(⇔)、逻辑等价 量化、全称量化(∀)、存在量化(∃)、唯一量化(∃!) 等价关系（$\sim$）
数学证明	直接证明、反证法——无理数的证明 对称关系命题、不失一般性(w.l.o.g.) 数学叙述
初等集合论	元素、属于关系 (∈) 集合及集合代数——并集、交集、补集、差集、笛卡儿积、德摩根定律、对称差、幂集、空集 数系——自然数集($\mathbb {N}$)、整数集($\mathbb {Z}$)、有理数集($\mathbb {Q}$)、实数集(ℝ)和复数集(ℂ)之间的子集关系($\mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C}$)
级数及序列	等差数列及等比数列 求和符号(Σ) 及求积符号 (Π) 通项公式、裂项和及裂项积 递回关系式
数学归纳法	第一数学归纳法、第二数学归纳法 强数学归纳法 逆向归纳法——算术-几何平均值不等式的证明
二项式定理	阶乘 (n!) 二项式系数及帕斯卡三角形
函数及映射	定义域及值域、陪域、区间 单射、双射与满射 奇函数与偶函数、周期函数 复合函数、反函数 分段函数、对称函数 取整函数、符号函数
不等式	绝对值、绝对值不等式 三角不等式 分式不等式 对称多项式不等式 代数不等式——算术-几何平均值不等式、柯西-施瓦茨不等式
线性代数	线性方程组、行向量与列向量、初等变换、阶梯形矩阵、高斯消去法、克莱姆法则 矩阵代数运算(矩阵加法、矩阵乘法及其不可交换性、n次幂)及其代数性质、零矩阵、转置矩阵 方阵及行列式、萨吕法则、奇异方阵及非奇异方阵、逆矩阵、单位矩阵 线性映射及$\mathbb {R} ^{2}$上的仿射变换及其变换矩阵——平移、旋转(旋转矩阵)、反射、缩放、错切
方程理论	多项式、多项式次数、 因式分解、因式定理、余式定理 多项式除法、综合除法、多项式辗转相除法及最大公因数、不可约多项式、艾森斯坦判别法 代数方程、代数基本定理、共轭复根、有理数根定理、解析解、根、重根、根与系数、判别式 多项式变换、配方法 方程求解——二次方程、三次方程、四次方程 笛卡儿符号法则 介值定理、费马引理 有理函数及垂直渐近线、部分分式分解
复数代数	复数四则运算及其代数性质(封闭性、结合性、交换性、存在单位元、存在逆元和分配性)、虚数单位、实部、虚部、共轭复数、辐角、复数模数 复数平面上的几何表达及移动点的轨迹集合 复数模数不等式——三角不等式、柯西-施瓦茨不等式 棣莫弗公式及其应用——解一元n次方程、n次单位根、三角恒等式
微积分学	极限的直观概念（不包括极限严谨定义ε-δ语言）、数学常数$e$ 数列极限、无穷级数、无穷序列、单调递增、单调递减、单调收敛定理、敛散性(收敛、发散，不包括审敛法） 夹挤定理、不定式及洛必达法则 初等函数——代数函数、幂函数、有理函数、三角函数及反三角函数(三角恒等式)、指数函数及自然对数($ln$) 函数极限、连续函数、左导数、右导数及可微函数 求导法则——导数列表、四则运算(微分的线性、乘积法则、除法定则、倒数定则)、反函数的微分、复合函数的微分(链式法则)、隐函数的微分、参数方程和极坐标系方程的微分、对数微分、高阶导数(莱布尼茨法则) 罗尔定理、拉格朗日中值定理 微分应用——函数图形描绘(截距、渐近线、拐点、驻点、极值)、曲线上某点的切线斜率及法线 微积分基本定理、黎曼积分及可积函数、不定积分（原函数）及积分常数、反常积分、积分第一中值定理 积分表、三角函数积分表、三角换元法、降次积分法、换元积分法、分部积分法、部分分式积分法 定积分应用——曲线弧长、平面面积、旋转体的体积(圆盘法和外壳法)及旋转曲面面积
平面解析几何	笛卡尔坐标系、极坐标系 弦、切线及法线 圆锥曲线——圆、椭圆、抛物线、双曲线、退化圆锥曲线及各参数方程，几何特征——离心率、焦点、准线、对称轴 圆锥曲线在齐次坐标的矩阵表示及其行列式的判别式
向量代数及立体解析几何	欧几里得空间的向量运算(向量加法定律——三角形定律、平行四边形定律及多边形定律、标量乘法)及其代数性质(结合性、存在单位元、存在逆元)、单位向量、零向量、范数、方向余弦、向量截点公式 点积(标量投影)、叉积及其反交换律(其范数为平行四边形的面积)、标量三重积$\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$(平行六面体的体积)、向量三重积$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )$、向量恒等式 向量不等式——三角不等式、柯西-施瓦茨不等式 线性组合、线性相关性 欧几里得空间的直线方程表示——一般式、斜截式、二点式(行列式)、参数式、向量式，一点与直线的距离，两条相交直线的相交点、两条相交直线的夹角、两条直线的距离 欧几里得空间的平面方程表示——一般式、点坐标及法向量、行列式，一点与平面的距离、两个平面的夹角 向量空间及其代数性质、维度、零空间
抽象代数	群(群论)、环(环论)、域(域论)
组合数学	排列与组合的概率问题

1992年后

1992年，纯粹数学科公开考试教学课程纲要《中学课程纲要–纯粹数学科(高级程度)1992》发布。

《中学课程纲要–纯粹数学科(高级程度)1992》
范畴A : 代数	单元A1 数学语言 单元A2 函数 单元A3 数学归纳法 单元A4 不等式 单元A5 正整指数的二项式定理 单元A6 多项式及方程 单元A7 $\mathbb {R} ^{2}$及$\mathbb {R} ^{3}$的向量 单元A8 矩阵 单元A9 二元及三元线性方程组 单元A10 复数
范畴B : 微积分与解析几何	单元B1 序列、级数及其极限 单元B2 极限、连续性及可微性 单元B3 微分法 单元B4 微分法的应用 单元B5 积分法 单元B6 积分法的应用 单元B7 解析几何

拟题方式

根据香港数学教育学会(Hong Kong Association for Mathematics Education)的期刊《数学教育》(EduMath)，1970年代开始，纯粹数学科公开考试以结构式问题(Structured Question)形式考核考生对数学基础的理解、应用及解难能力，题目取材自一些未有注明内自本科课程网要出处的数学概念或公式，要求考生证明该数学命题、定理或引理等，并着重融会各数学领域之间的关连和数学之美。

早年只有英文版本试题，以下列表以英文为主:

数学领域	拟题的数学概念或公式	试题题号	备注
正交多项式	埃尔米特多项式 勒让德多项式 切比雪夫多项式
多项式序列	Fibonacci polynomials
Sequences and series	斐波那契数列 Harmonic series Euler–Mascheroni constant P-series
数学分析	证明π是无理数 Proof that e is irrational 巴塞尔问题 Π的莱布尼茨公式 沃利斯乘积 Viète's formula 梅钦类公式 史特灵公式 Frullani integral 利普希茨连续 Integral of inverse functions 积分判别法 Cauchy's Mean Value Theorem 富比尼定理
特殊函数	高斯积分 Β函数 符号函数
Inequality	赫尔德不等式 杨氏不等式 简森不等式 伯努利不等式 切比雪夫总和不等式 Weierstrass product inequality
李代数	李群
算术	Nearest integer function
Functional Equation	柯西函数方程
傅里叶分析	帕塞瓦尔恒等式
复分析	Linear fractional transformation
超越数论	E的π次方
组合数学	母函数 朱世杰恒等式 范德蒙恒等式 多项式定理
分数微积分	Cauchy formula for repeated integration
Calculus	泰勒公式 Steiner's calculus problem Mean value theorems for definite integrals
泛函分析	p-Norm
Operational calculus	单位阶跃函数
线性代数	Vector projection 格拉姆-施密特正交化
Matrix Algebra	Commuting matrices 凯莱–哈密顿定理 Trace 克罗内克积 可对角化矩阵 特征分解 特征值和特征向量 特征多项式 矩阵多项式 幂零矩阵 反对称矩阵
方程理论	Cubic equation#Cardano's formula 四次方程 牛顿恒等式 Eisenstein's_criterion
Analytic Geometry	心脏线 帕斯卡蜗线 星形线 三尖瓣线
统计学	nth moment of f(x)

另见

• 香港中学会考附加数学科
• 香港高级补充程度会考数学与统计学
• 香港高级程度会考应用数学科
• 香港中学文凭考试数学科延伸部分
• 香港高等程度会考高级数学：香港中文大学入学试中的高等数学科
• 梁鉴添：香港高级程度会考纯粹数学科参考书作者

外部链接

• Pure Mathematics Curriculum and Assessment Guide （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 纯粹数学科课程及评估指引（高级程度） （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 香港教育局 中学课程纲要－纯粹数学科 (高级程度) (1992) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Education Bureau Syllabuses for Secondary Schools - Pure Mathematics (Advanced Level) (1992) （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 香港考试及评核局 高级程度会考纯粹数学 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• HKEAA ADVANCED LEVEL PURE MATHEMATICS （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 香港公共图书馆数码馆藏: 香港会考及高考试题特藏 香港高级程度会考 Pure Mathematics 纯粹数学 （页面存档备份，存于互联网档案馆）