七個瓣的玫瑰線
八個瓣的玫瑰線(k=4)
各種各樣的玫瑰線
玫瑰線是極坐標系中的正弦曲線,可以用以下的方程來表示:
![{\displaystyle \!\,r=\cos(k\theta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b9384dd4c4d7662c31ead1f520252073a8f30bd)
如果k是偶數,玫瑰線就有2k個瓣,如果k是奇數,則有k個瓣。
如果k是有理數,玫瑰線就是封閉的,其長度有限。如果k是無理數,則曲線不是封閉的,長度為無窮大。在這種情況下,玫瑰線的圖形便形成了一個稠密集。
由於對於所有的
,都有:
![{\displaystyle \sin(k\theta )=\cos \left(k\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(k\left(\theta -{\frac {\pi }{2k}}\right)\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58a902c9ad128be57f7338c2e68ca82043443c75)
因此由以下方程所確定的玫瑰線
和![{\displaystyle \,r=\cos(k\theta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e09cdd36c3f7a86b7c7610f15c3c032505dd21f)
除了角度的不同以外,是全等的。
由以下方程所確定的玫瑰線
![{\displaystyle r=a\cos(k\theta )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d7f7f18e4de587d12b12ccf03aa323114eaff5a)
其中k是正整數,具有面積:
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f45a41c3f8cef6806da7612603ec72a8e726ec9)
如果k是偶數;
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/211ca795217c90faeb5a2632f4c111c79557a2d1)
如果k是奇數。
相同的公式也適用於以下形式的玫瑰線:
![{\displaystyle r=a\sin(k\theta )\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c55c852a53e6e9fe2a9be4f86bb68e3bcf60b9ef)
外部連結[編輯]