運算

  提示：此條目頁的主題不是算子或計算。

在數學中，一個 運算 被定義為一個將一個或更多個輸入值（或稱 「運算數」 或 「參數」）對應到一個兩定義的輸出值的函數。這些運算數的個數被稱為該運算的元數。

研究中最常見的運算是二元運算（也就是元數為 2 的運算）如加法、乘法，還有一元運算（也就是元數為 1 的運算）如加法逆、乘法逆。而一個操作數為零的運算，或者說一個零元運算，是一個常數，這種運算在計算機科學中比較常見一些。混合積是一個三元運算的例子。

通常而言一個運算的輸入值是有限的，但有時也應當考慮無窮元運算，這時，「通常的」輸入值有限的運算就被歸類為有限元運算了。

運算的類型

有兩類常見的運算，一元和二元運算。其中，一元運算僅涉及一個輸入值，比如邏輯非或者三角函數等。而對於以加、減、乘、除以及冪為例的二元運算，則需要兩個輸入值。

除卻數字，運算也允許涉及其他數學對象。比如邏輯真值 「真」 和 「假」 就可以通過 「與」、「或」、「非」 這些邏輯運算符連接並參與運算，其中 「與」 和 「或」 為二元運算，而「非」為一元運算；向量可以進行加減； 轉動可以通過函數複合進行運算，運算結果是先進行前一個旋轉，接著進行後一個旋轉的複合旋轉。集合上的運算包括二元的交、並運算；函數之間的運算有函數複合、卷積等。

作為一個函數，運算並不總對其域上的所有元定義良好。例如實數上對零做除法或者對負數開平方根就是不被允許的。所有能被運算的值構成一集合，記為該運算的定義域。對於整個定義域上的值，包含該運算作為函數導出的所有值的集合稱作該運算的上域，而所有導出值本身構成的集合，稱運算的像或者值域。例如前文所述的實數平方根，其定義域即 $\mathbb {R} _{\geq 0}$，值域也是 $\mathbb {R} _{\geq 0}$，上域則是任意一個含有值域的集，此處可以為 $\mathbb {R}$；而實數的除法運算，定義域為 $\mathbb {R} \times \mathbb {R} _{\neq 0}$，值域為 $\mathbb {R} _{\neq 0}$。

此外，多元的運算可以涉及並不相似的元素：向量能夠與純量進行數乘運算並得到另一個向量；兩個向量可以進行內積運算並最後得到一個純量。一個運算有時也會被賦予一些額外屬性如結合律、交換律、反交換律、冪等等。

這些參與運算的值被稱作 「參數」 或 「輸入」，而得到的值被稱作 「值」、「結果」 或 「輸出」。運算的元數可以是從 2 到 $\infty$ 之間的任何整值。

算符 與運算近似，指的是運算所使用的符號和過程，因而二者並不完全等同。「加法運算」常側重於輸入和輸出兩端，而「加法算符」（粗略而言，「加號」）則更聚焦於過程，以一種更形式化的說法，即映射 $+\colon X\times X\to X$。

定義

一個從 $X_{1},\dots ,X_{n}$ 到 $Y$的 $n$ 元運算 $\omega$ 被認定為映射

$\omega \colon X_{1}\times \cdots \times X_{n}\to Y.$

其中，集合 $X_{1}\times \cdots \times X_{n}$ 稱作運算的域，$Y$稱作運算的上域，非負整數 $n$稱作運算的元數。特別地，零元運算僅是上域 $Y$上的一個單一元素。值得指出，$n$元運算完全允許視作 $(n+1)$元關係，該關係對運算的域為全域的，對運算的上域則是唯一的。

一個從 $X_{1},\dots ,X_{n}$ 到 $Y$的 $n$ 元部分運算，其上域為 $X_{1},\dots ,X_{n}$ 的任意子集。

以上敘述常稱作 有限關係，參數有限。顯然存在擴張，將元數認定為一個無窮序數或者無窮基數，甚至是以任意集作為參數的指標集。

通常情況下，使用」運算「這個詞暗含了域是上域的冪這個條件（即上域和自身的一個或更多副本的笛卡兒積），這一性質並不絕對，就像內積運算，並不符合該描述：將兩個向量點乘，結果是一個純量。一個 $n$元運算 $\omega \colon X^{n}\to X$ 被稱作內部運算；一個 $n$元運算 $\omega \colon X^{i}\times S\times X^{n-i-1}\to X$，其中$0\leq i<n$，被稱作由純量集或者算子集 $S$ 構造的 外部運算。特別地，二元運算 $\omega \colon S\times X\to X$ 稱作由 $S$ 決定的 左外部運算，相應地 $\omega \colon X\times S\to X$ 稱作由 $S$ 決定的 右外部運算。

一個 $n$ 元多值函數 或者 多值運算 $\omega$ 是一個從其笛卡兒積到其冪集的形如 $\omega \colon X^{n}\to {\mathcal {P}}(X)$的映射。

參見

• 有限元關係
• 超運算
• 中綴表示法
• 算子
• 操作數