數學上,一致有界性原理,又稱巴拿赫–斯坦豪斯定理[1]、共鸣定理,是泛函分析的重要結果。定理斷言,對於任意一族定義在巴拿赫空间上的连续线性算子,該族算子逐點有界,當且僅當其在算子范数意義下一致有界。
定理最早由斯特凡·巴拿赫和胡戈·斯坦豪斯於1927年發表,亦由漢斯·哈恩獨立證出。
定理內容[编辑]
設 X 和 Y 為兩個巴拿赫空間。假設 F 為由 X 映向 Y 的若干個連續線性算子的集合。若對於 X 中的任意一個 x ,都有
![{\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff3289fce0da007ab48e5369f327e9972963b051)
則
![{\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F,\|x\|=1}\|T(x)\|_{Y}=\sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f2ffd86e49b414d12bb5c445730e56de4898d1f)
由於 X 完備,利用贝尔纲定理可以得到以下簡短的證明。
假定對於 X 中的任意一個 x, 都有
![{\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dda8a4862e57e4bdcc8ed7bf902dfc76b0e83a0d)
對任意整數
記
![{\displaystyle X_{n}=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}\leq n\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3052c659ba9dcdc423f842b2138b131d7d747a52)
則
為閉集,且由假設有
![{\displaystyle \bigcup \nolimits _{n\in \mathbf {N} }X_{n}=X\neq \varnothing .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b543e3eacb11d6fcd827757ceedf863737161a56)
貝爾綱定理適用於非空的完备空间 X, 故存在 m 使得
的內部非空,即存在
和 ε > 0 使得
![{\displaystyle {\overline {B_{\varepsilon }(x_{0})}}:=\{x\in X\,:\,\|x-x_{0}\|\leq \varepsilon \}\subseteq X_{m}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8ecc491019accc9bae6478cbc7c217f83872c8a)
設 u ∈ X 滿足 ǁuǁ ≤ 1 和 T ∈ F, 則有:
![{\displaystyle {\begin{aligned}\|T(u)\|_{Y}&=\varepsilon ^{-1}\left\|T\left(x_{0}+\varepsilon u\right)-T(x_{0})\right\|_{Y}&[T{\text{ 為 線 性 }}]\\&\leq \varepsilon ^{-1}\left(\left\|T(x_{0}+\varepsilon u)\right\|_{Y}+\left\|T(x_{0})\right\|_{Y}\right)\\&\leq \varepsilon ^{-1}(m+m).&[{\text{ 因 為 }}\ x_{0}+\varepsilon u,\ x_{0}\in X_{m}]\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb441e240e5abfd2f889bbb82da3fe69e2ea8897)
使 u 歷遍 X 的單位球,並取遍
得到
![{\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}\leq 2\varepsilon ^{-1}m<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc26ec35edbaf8ce81522e51583b6b34f96ba4f8)
因此定理成立。
也有無需貝爾綱定理的簡單證明,例如 (Sokal 2011).
該定理可以推出:若一列有界算子 (Tn) 逐點收斂,即對 X 的任意元素 x, 序列 (Tn(x)) 都收斂,則該列有界算子的逐點極限定義了另一個有界算子 T.
注意上述推論並未斷言 Tn 在算子範數的意義下收斂到 T, 即:在有界集上一致收斂。然而,由於 (Tn) 在算子範數意義下有界,且其極限算子為一個連續算子 T, 可以利用標準的 "3-ε" 技巧證明,在任意緊集上,均有 Tn 一致收斂到 T.
另一推論為:賦範空間 Y 的弱有界子集 S 必然有界。
理由是,可以將 S 看成巴拿赫空間 X = Y* (Y的連續對偶)上逐點有界的一族連續線性算子。由一致有界性原理,S 的元素(視為 X 的線性泛函)的算子範數(即雙對偶 Y** 上的範數)有界,但由哈恩-巴拿赫定理可知,S 的任意元素 s 在雙對偶空間的範數,等於其於原空間 Y 的範數。
記 L(X, Y) 為自 X 映向 Y 的連續線性算子空間(賦以算子範數)。若族 F 為 L(X, Y) 的無界子集,則由一致有界性原理,有:
![{\displaystyle R=\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F}\|Tx\|_{Y}=\infty \right\}\neq \varnothing }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8572a631d24b10da47e2e6ba3dd2e3ad55fd7b2)
更甚者,R 在 X 中稠密。原因是,R 在 X 中的補集是 ∪Xn, 故為閉集 Xn 的可數並。按照定理的證明過程,每個 Xn 都无处稠密,故 ∪Xn 為第一綱集。所以 R 是貝爾空間中一個第一綱集的補集。根據貝爾空間的定義,這樣的集(稱為剩餘集)是稠密的。如此推理可得奇點凝聚原理,即:
若 X 為巴拿赫空間,{Yn} 為一系列賦範空間,Fn 為 L(X, Yn) 的無界子集,則集合
為第二綱集,因此在 X 中稠密。
原因是,R 的補集可以寫成第一綱集的可數並
![{\displaystyle \bigcup \nolimits _{n,m}\left\{x\in X\ :\ \sup \nolimits _{T\in F_{n}}\|Tx\|_{Y_{n}}\leq m\right\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/be4d1f343b9fe1dcfe986a02613b7026c925c49f)
因此其剩餘集 R 稠密。
例子:傅立葉級數的逐點收斂[编辑]
設
為單位圓,
為
上連續函數在一致範數意義下組成的巴拿赫空間。由一致有界性原理,可以證明
中有一個元素,其傅立葉級數不逐點收斂。
對
其傅立葉級數定義為
![{\displaystyle \sum _{k\in \mathbf {Z} }{\hat {f}}(k)e^{ikx}=\sum _{k\in \mathbf {Z} }{\frac {1}{2\pi }}\left(\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-ikt}dt\right)e^{ikx},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d991cc00faef96c7bb924390052193b75ce5d6aa)
而級數的第 N 階對稱部分和為
![{\displaystyle S_{N}(f)(x)=\sum _{k=-N}^{N}{\hat {f}}(k)e^{ikx}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }f(t)D_{N}(x-t)\,dt,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6422f2ecda7b2a9af0ee02b01a1adccd70dd175)
其中 DN 為第 N 階狄利克雷核。選定
然後考慮序列 (SN(f)(x)) 的收斂性。以下式定義泛函
:
![{\displaystyle \varphi _{N,x}(f)=S_{N}(f)(x),\qquad f\in C(\mathbb {T} ),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64008973d0a74b6d0d454a7bf558dffcccddfd13)
則 φN,x 有界。而 φN,x 於
的對偶空間的範數,是帶號測度 (2π)−1DN(x−t) dt 的範數,故
![{\displaystyle \left\|\varphi _{N,x}\right\|={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(x-t)\right|\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\left|D_{N}(s)\right|\,ds=\left\|D_{N}\right\|_{L^{1}(\mathbb {T} )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d3c162e6583ded595011d7026c05c14a1dfe315)
可以驗證
![{\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }|D_{N}(t)|\,dt\geq {\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }{\frac {\left|\sin \left((N+{\tfrac {1}{2}})t\right)\right|}{t/2}}\,dt\to \infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e008634f407325c420c1b9838e3e770a980603a0)
故族 {φN,x} 是
(
的對偶)的無界子集。因此,由一致有界性原理可知,對任意
傅立葉級數於 x 發散的連續函數在
中稠密。
也可運用奇點凝聚原理來得出更強的結論。設 (xm) 為
中的稠密序列。如上定義 φN,xm. 則由奇點凝聚原理,傅立葉級數於每一個 xm 都發散的連續函數在
中稠密。(然而要注意,根據卡爾松定理,一個連續函數 f 的傅立葉級數,幾乎於每一點
都收斂到 f(x).
受最少限制,而類似結論仍然適用的空間,是桶型空間。其上的一致有界性原理為(Bourbaki 1987,Theorem III.2.1):
若把 X 換成一個貝爾空間而保持 Y 為局部凸的,則結論同樣成立。(Shtern 2001)
Dieudonné (1970) 證明了 Fréchet 空間上一個較弱的結論:
若 X 為 Fréchet 空間, Y 為賦範空間,H 為由 X 映向 Y 的若干連續線性算子組成的集合,其滿足對 X 中的任意元素 x,
![{\displaystyle \sup \nolimits _{u\in H}\|u(x)\|<\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ebd9dd8905eab41e1c504b31fa6050bf6944864)
則族 H 等度連續。
參考文獻[编辑]
- Banach, Stefan; Steinhaus, Hugo, Sur le principe de la condensation de singularités (PDF), Fundamenta Mathematicae, 1927, 9: 50–61 [2018-12-01], (原始内容存档 (PDF)于2019-05-01) . (法文)
- Bourbaki, Nicolas, Topological vector spaces, Elements of mathematics, Springer, 1987, ISBN 978-3-540-42338-6
- Dieudonné, Jean, Treatise on analysis, Volume 2, Academic Press, 1970 .
- Rudin, Walter, Real and complex analysis, McGraw-Hill, 1966 .
- Shtern, A.I., b/b015200, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 .
- Sokal, Alan, A really simple elementary proof of the uniform boundedness theorem, Amer. Math. Monthly, 2011, 118: 450–452, arXiv:1005.1585
, doi:10.4169/amer.math.monthly.118.05.450 .