閉圖像定理是數學中泛函分析的一條定理。
設
,
為巴拿赫空間,
為線性算子。定義
的圖像為
的子空間
。
賦予
範數
,使得
成為巴拿赫空間。那麼,這定理指
是連續的(與有界等價)當且僅當
在
內是閉集。
閉圖像定理可以從開映射定理推導出來。
是閉集的充分必要條件是如果序列
(即對任意
有
),而
,那麼
,
。如果
是連續的,從連續性立刻可知
是閉集,因為連續性是更強的條件:如果
,則
。
如果
是閉集,可以在
定義線性算子
,
。
顯然
,因此
是有界算子。
是巴拿赫空間
中的閉子空間,所以
是巴拿赫空間。
也是巴拿赫空間,
是雙射,從而由開映射定理的系可知,其逆
為有界算子。
因為
,故
也是有界的。
從這定理可得出黑林格-特普利茨定理──希爾伯特空間上處處定義的對稱線性算子是有界的。