模糊函數(Ambiguity function,AF):
韋格納分佈(Wigner distribution,WD):
模糊函數與韋格納分佈關係[编辑]
一個訊號s(t),自相關函數為
如果
為時間相依性(time-dependent),則時間相依自相關(time-dependent auto-correlation)為
,
時間相依(時變)頻譜(time-dependent spectrum)可以表示的形式類似於傳統的功率譜,即對時間相依自相關函數做傅立葉變換。
不同的時間相依自相關會導致不同的時間相依功率譜。
如果
,則時間相依功率譜變成為Wigner distribution
若對
中的t做傅立葉逆轉換,得到另一個時頻表示,對稱模糊函數(symmetric ambiguity function,SAF)
模糊函數反映信號在時間和相位的相關性,並已廣泛應用在雷達和聲納系統上。
給一個對稱模糊函數
,透過傅立葉變換可以得到時間相依自相關:
由上式可以推得
![{\displaystyle WD_{s}(t,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }SAF_{s}(\theta ,\tau )e^{-j(\omega \tau +\theta t)}\,d\theta \,d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c330acf7af6ba0459af49c2c7a50523d16e976b)
也就是對對稱模糊函數做兩次傅立葉變換可以得到Wigner distribution
一個訊號為兩個Gaussian函數的和:
![{\displaystyle s(t)=\sum _{i=1}^{2}s_{i}(t)=\sum _{i=1}^{2}{\sqrt[{4}]{\frac {\alpha }{\pi }}}e^{-{\tfrac {\alpha }{2}}(t-t_{i})^{2}+j\omega _{i}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907a08b77bcea5e7266dbd0eb1d1de9bb5411f5e)
![{\displaystyle \Rightarrow SAF_{s}(\theta ,\tau )=\sum _{i=1}^{2}SAF_{si}(\theta ,\tau )+SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )+SAF_{s2,s1}(\theta ,\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0af5977a7d8c188e149522d92b33d71ad19cef)
- 其中
集中在原點(0,0),而
集中在
,而
相似於
,除了中心點在
,
,
,
, ![{\displaystyle \omega _{d}=\omega _{1}-\omega _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04162cf50b86894fd2ae6daa544df085a1ef88f)
模糊域(ambiguity domain)的auto-term與cross-term[编辑]
從範例中得知一項重要事實,即為,在模糊域(ambiguity domain)中的auto-term總是集中在原點(0,0),而cross-term總是在遠離原點處,所以可以用一個2D lowpass filter在模糊域中抑制cross-term的干擾,如下:
,其中
為2D lowpass filter
兩高斯信號和之模糊函數與韋格納分佈應對關係[编辑]
如果
,則
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }SAF_{s}(\theta ,\tau )\Phi (\theta ,\tau )e^{-j(\theta t+\omega \tau )}\,d\theta \,d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/682938f8c29839b51aca159d551bf339d8ffe35d)
![{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,y)WD_{s}(t-x,\omega -y)\,dx\,dy=SWD(t,\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e9c3b33324e33016f1a0eaabd1e697b7e67f98)
- 其中SWD為smoothed Wigner distribution
通常
( 和
)當作kernal function,用來控制SWD的特性。
若Wigner分佈和對稱模糊函數用大小(magnitude)及相位(phase)表示,如下:
而
, ![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}\varphi _{SAF}(\theta ,\tau )=\omega _{u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103b32d00fae4b66bfb92d74e51be4d00de0d45e)
也就是說對對稱模糊函數的相位做偏微分,會等於Wigner分佈的時頻(time-frequency)中心。
相反地,
, ![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\varphi _{WD}(t,\omega )=\omega _{d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29ff3cb692c9c0de23891927f81006796eb7a47)
則為對Wigner分佈的相位做偏微分,會等於對稱模糊函數的中心。
如果
,則
會集中在
軸上。
如果
,則
會集中在
軸上。
- Weiss, Lora G. "Wavelets and Wideband Correlation Processing". IEEE Signal Processing Magazine, pp. 13–32, Jan 1994
- Shie Qian, Introduction to time-frequency and wavelet transforms, Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, c2002
- L. Sibul, L. Ziomek, "Generalised wideband crossambiguity functiom", IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, ICASSP '81.01/05/198105/1981; 6:1239- 1242.