模糊函数(Ambiguity function,AF):
韦格纳分布(Wigner distribution,WD):
模糊函数与韦格纳分布关系[编辑]
一个讯号s(t),自相关函数为
如果
为时间相依性(time-dependent),则时间相依自相关(time-dependent auto-correlation)为
,
时间相依(时变)频谱(time-dependent spectrum)可以表示的形式类似于传统的功率谱,即对时间相依自相关函数做傅立叶变换。
不同的时间相依自相关会导致不同的时间相依功率谱。
如果
,则时间相依功率谱变成为Wigner distribution
若对
中的t做傅立叶逆转换,得到另一个时频表示,对称模糊函数(symmetric ambiguity function,SAF)
模糊函数反映信号在时间和相位的相关性,并已广泛应用在雷达和声纳系统上。
给一个对称模糊函数
,透过傅立叶变换可以得到时间相依自相关:
由上式可以推得
![{\displaystyle WD_{s}(t,\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }SAF_{s}(\theta ,\tau )e^{-j(\omega \tau +\theta t)}\,d\theta \,d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c330acf7af6ba0459af49c2c7a50523d16e976b)
也就是对对称模糊函数做两次傅立叶变换可以得到Wigner distribution
一个讯号为两个Gaussian函数的和:
![{\displaystyle s(t)=\sum _{i=1}^{2}s_{i}(t)=\sum _{i=1}^{2}{\sqrt[{4}]{\frac {\alpha }{\pi }}}e^{-{\tfrac {\alpha }{2}}(t-t_{i})^{2}+j\omega _{i}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907a08b77bcea5e7266dbd0eb1d1de9bb5411f5e)
![{\displaystyle \Rightarrow SAF_{s}(\theta ,\tau )=\sum _{i=1}^{2}SAF_{si}(\theta ,\tau )+SAF_{s1,s2}(\theta ,\tau )+SAF_{s2,s1}(\theta ,\tau )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e0af5977a7d8c188e149522d92b33d71ad19cef)
- 其中
集中在原点(0,0),而
集中在
,而
相似于
,除了中心点在
,
,
,
, ![{\displaystyle \omega _{d}=\omega _{1}-\omega _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b04162cf50b86894fd2ae6daa544df085a1ef88f)
模糊域(ambiguity domain)的auto-term与cross-term[编辑]
从范例中得知一项重要事实,即为,在模糊域(ambiguity domain)中的auto-term总是集中在原点(0,0),而cross-term总是在远离原点处,所以可以用一个2D lowpass filter在模糊域中抑制cross-term的干扰,如下:
,其中
为2D lowpass filter
两高斯信号和之模糊函数与韦格纳分布应对关系[编辑]
如果
,则
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }SAF_{s}(\theta ,\tau )\Phi (\theta ,\tau )e^{-j(\theta t+\omega \tau )}\,d\theta \,d\tau }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/682938f8c29839b51aca159d551bf339d8ffe35d)
![{\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\phi (x,y)WD_{s}(t-x,\omega -y)\,dx\,dy=SWD(t,\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5e9c3b33324e33016f1a0eaabd1e697b7e67f98)
- 其中SWD为smoothed Wigner distribution
通常
( 和
)当作kernal function,用来控制SWD的特性。
若Wigner分布和对称模糊函数用大小(magnitude)及相位(phase)表示,如下:
而
, ![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \tau }}\varphi _{SAF}(\theta ,\tau )=\omega _{u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/103b32d00fae4b66bfb92d74e51be4d00de0d45e)
也就是说对对称模糊函数的相位做偏微分,会等于Wigner分布的时频(time-frequency)中心。
相反地,
, ![{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\varphi _{WD}(t,\omega )=\omega _{d}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29ff3cb692c9c0de23891927f81006796eb7a47)
则为对Wigner分布的相位做偏微分,会等于对称模糊函数的中心。
如果
,则
会集中在
轴上。
如果
,则
会集中在
轴上。
- Weiss, Lora G. "Wavelets and Wideband Correlation Processing". IEEE Signal Processing Magazine, pp. 13–32, Jan 1994
- Shie Qian, Introduction to time-frequency and wavelet transforms, Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, c2002
- L. Sibul, L. Ziomek, "Generalised wideband crossambiguity functiom", IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing, ICASSP '81.01/05/198105/1981; 6:1239- 1242.